그 대답은 카탈로니아어 숫자로 판명 많은 계산 문제가 있습니다. 열거성 조합: 볼륨 2, 리처드 스탠리에 의해, 예제의 큰 숫자가 포함되어 있습니다. 이제 n +1n + 1n + 1 사본 +1 +1 +1및 n−1n-1의 시퀀스 의 수는 -1-1-1의 2n입니다! (n +1)! (n−1)!frac{2n!} {(n+1)! (n-1)!} (n +1)! (n-1)!2n! . bijection에 의해, 이것은 또한 허용 되지 않는 시퀀스의 수와 동일 합니다. 따라서 허용되지 않는 시퀀스의 총 수는 대각선을 가로지르는 단조로운 경로가 주어졌다고 가정합니다. 패스의 초과량은 대각선 위에 있는 수직 모서리의 수로 정의됩니다. 예를 들어 그림 2에서 대각선 위에 놓인 가장자리는 빨간색으로 표시되므로 경로초과는 5입니다. 그 솔루션카탈로니아 숫자에 의해 주어진 조합에 많은 계산 문제가 있습니다. 책 열거 조합 : 볼륨 2 결합학자 리처드 P.
스탠리는 카탈로니아어 숫자의 66 다른 해석을 설명하는 연습의 세트가 포함되어 있습니다. 다음은 사례 C3 = 5 및 C4 = 14의 그림과 함께 몇 가지 예입니다. 카탈로니아어 숫자는 조합의 많은 계수 문제에 나타나는 긍정적 인 정수의 시퀀스입니다. 특정 유형의 격자 경로, 순열, 이진 트리 및 기타 여러 조합 오브젝트를 계산합니다. 이러한 형식은 근본적인 되풀이 관계를 충족하고 이항 계수 측면에서 닫힌 형식 의 수식을 갖습니다. 스탠리, R. P. „카탈로니아 어 부록.” 2003년 11월 19일. http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.ps.gz.
k=1,2,3,…,2nk=1,2,3, ldots, 2nk=1,2,3,…,2n은 nthn^text{th}nth 카탈로니아어 번호와 같습니다. 0에 전원 계열이 있고 그 계수는 따라서 카탈로니아어 숫자여야합니다. 선택한 솔루션은 알터를 만족스럽게, R. „카탈로니아어 숫자에 대한 몇 가지 발언과 결과.” Proc. 2nd 루이지애나 콩과 빗, 그래프 Th., 및 컴퓨팅., 109-132, 1971. 이 간단한 증거[11]는 카탈로니아 어 숫자의 Dyck 단어 해석을 기반으로하지만 Dvoretzky와 Motzkin의 아름다운 사이클 렘마를 사용합니다. [12] 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 경우, 불균형은 항상 긍정적 인 경우 X와 Y의 지배의 시퀀스를 호출, 즉, X의 수는 항상 Y의 수보다 엄격하게 큰 것입니다. 사이클 Lemma는 m {displaystyle m} X와 n {displaystyle n} Y`s의 모든 시퀀스가 m> n {displaystyle m>n}이 정확히 m- n {displaystyle m-n}이 순환 순열을 지배한다고 주장합니다. 이를 보려면 m + n {displaystyle m +n} X와 Y의 주어진 시퀀스를 원 안에 정렬하고 n {displaystyle m-n} X가 남을 때까지 인접한 쌍 XY를 반복적으로 제거합니다. 이 X의 각각은 아무것도 제거하기 전에 지배적 인 순환 순열의 시작이었다.
특히 m = n + 1 {displaystyle m=n+1}이 정확히 하나의 지배적인 순환 순열이 있는 경우. 선행 X를 제거(지배적인 시퀀스는 X로 시작해야 합니다)는 Dyck 시퀀스를 남깁니다.